面向高中生的马尔可夫链（Markov Chains）和游走相关的概率递推问题

今天给各位分享面向高中生的马尔可夫链（Markov Chains）和游走相关的概率递推问题的知识，其中也会对面向高中生的马尔可夫链（Markov Chains）和游走相关的概率递推问题进行解释，如果能碰巧解决你现在面临的问题，别忘了关注本站，现在开始吧！

本文导读目录：

1、面向高中生的马尔可夫链（Markov Chains）和游走相关的概率递推问题

2、文心4.0大模型测评

　　观前提示： 　　1.该文章主要目标受众为普通高中生，所以会在一些高阶知识的讲解上缺失一定严谨性，是为了方便理解 　　2.若该文章有严重逻辑错误，计算错误等不合理之处，写得不好的，均可私信或评论指出，我会及时纠正修改 　　3.本文章于9月份起稿，历经几次更新内容，体量非常庞大（建议分几天看），如果只想了解相关概念的，看至更深的数学方法即可 　　如果要掌握该类递推题型和套路的同学，读完本篇文章和独立做完所有题目就可以非常熟练地掌握 　　4.本文章正收录一些概率递推的相关题目，若各位有好的建议和题目也可以私信或评论，我会认真考虑并采纳，补充在该文章中 　　近期有一些反诈反赌之类的影视（你怎么知道我在说孤注一掷doge）的爆火，这让我想起了一个著名的数学问题，即赌徒问题有一个赌徒，假设拥有本金A元，每赌博一局，有 ,赌徒会一直赌下去除非 ，上述 。这里记赌徒手中有n元 ，最终输光的概率为 求 .图1，本金在直线上游走 　　我们来理解一下问题在说什么 　　一个赌徒拿着 元去赌博， 输掉一元，手上的本金就只有 元，赢得话就 元 　　考虑一些极端情况 　　如果一开始就是 元的本金，那他就是一开始就是输光的状态，所以他输的概率 　　如果一开始就是 元的本金，那他一开始就是已经赢到目标钱数的状态，所以输的概率 　　考虑一些常规情况 　　手上有未知的本金 元，我们令 ，手上有 元，他输光的概率就是 ，同时这也是一种所处的状态 　　这个 的状态，可以是由 的状态赢了一局后得到的，也可以是由 的状态输了一局得到的 　　公式表述为 　　这样子我们可以得到一个更普遍的递推式 　　：也许会有同学会问为什么不可以由 的状态或者别的状态到达 吗 　　其实也是可以的，最后化出来的式子是隔项的递推式，经过变形推导也能得到上述式子，但是为了方便我们一般都是取最近的状态研究 　　我们来推导一下它的通项 　　易知 为等差数列，令公差为 ，则有 在这里我们可以看到，如果你的目标钱数 如果趋于 时，你输光的概率将趋近于 即百分百 　　事实上，如果拓展到更广的范围，你输光为 仍然不收手继续赌博，仍然要达到目标 ，最后你很有可能会先负债 　　所以我们要控制自己的欲望(doge),不要赌博 　　在今年的杭州二模和湖南师大附中三模中都考察了该赌徒问题，各位要多注意该类问题 　　我们可以看到，上述问题的解决，是在一个当前的状态下，去判断前一个状态和后一个状态与该状态的联系，从而找到递推式 　　马尔可夫链有点类似于这样子，但它是在考虑这样的一个马尔可夫过程 　　过程中的每个状态的转移只依赖于之前的n个状态，这个过程被称为n阶马尔可夫模型（其中n是影响转移的状态数目） 　　最简单的马尔科夫过程就是一阶过程，每一个状态的转移只依赖于其之前的那一个状态，这也是后面很多模型的讨论基础 　　很多时候马尔科夫链、隐马尔可夫模型都是只讨论一阶模型，甚至很多文章就将一阶模型称之为马尔可夫模型，现在我们知道一阶只是一种特例而已了[1] 　　我们举一个例子来理解一下一阶马尔可夫 [2]小明家楼下有两家早餐铺，其中A主营小笼包，B主营煎饼果子。当某日小明早餐选择A，那么下一天就有可能 ；若某日选择B，那么下一天就有 。若第一天选择A，那么第三天选择A的概率是多少？如果第一天选择A，第三天还选择B的概率又是多少？图2，状态转移图 　　有两种情况，第二天吃A，第三天还吃A;第二天吃B，第三天吃A，即 　　若是第一天吃B，也一样有两种情况，同理可得 　　如果有稍微思考过的同学就会发现，一阶马尔可夫的每一次下个状态的选择的概率，都只依赖于它前一个状态，跟它前前一个，甚至是前前前一个都没有关系 　　于是我们可以这样子说，在前面很多状态 发生的情况下，状态 发生的概率只依赖于上一个状态即 状态，用条件概率的公式表述为： 　　事实上，马尔可夫的底层计算逻辑是我们高中已经学过的一个知识——全概率公式 　　[3]设实验 的样本空间为 , 为 的事件, 为 的一个划分,且 ,则有 　　如果有同学希望了解更多的内容，可以看完本篇文章顺便看看 @热爱数学的小咖 的回答，写得也很好，如下怎样用高中概率知识求解以马尔科夫链为背景的天气预报问题？ 　　对于这类概率问题，我们可以使用更高阶的数学工具——矩阵，来进行研究 　　刚刚的吃早餐的例子中，A与B之间不同早餐的选择，就是对状态的转移，转移是有一定的概率的，这我们称之为转移概率[4]，表示成 ， 为有限的状态集合，表示当前状态为 的情况下，下个状态为 的概率 　　转移概率满足 对于所有的转移概率，可以构成转移概率矩阵 　　转移概率矩阵： 　　于是早餐店的转移概率矩阵即为: 　　第一天选择的是A，那么转移概率矩阵即为： 　　求第三天为A和B的概率，即进行矩阵乘法可得: 　　与上述的常规计算结果相同 　　现在我们可以深入探究一下，如果n天后，概率是多少？如下 　　若是第一天选择吃B，n天后概率分布又是多少？ 　　事实上，算出来的答案还是跟上面是一样的 　　在足够多状态过后，转移概率矩阵经过有限次数序列的转换，最终会得到一个稳态概率分布(Steady-state distribution)，该稳态概率分布与初始的概率分布无关（注意，并不是所有马尔可夫过程都有稳态概率分布） 甲乙丙丁4人传接球训练，球从甲脚下开始，等可能地随机传向3人中的一人，接球者接到球后，再等可能地随机传向另外3人中的1人，依此类推。假设所有传出的球都能接住。记第n次传球之前，球在甲脚下的概率为 ，易知 (1)推导 相关的递推式及通项(2)设第n次传球之前，球在乙脚下的概率为 ,比较 与 ( )的大小 　　分析第一个问题 　　球在甲脚下，概率为 ，这个概率是受上一个持球者影响的 　　如果上一个持球者还是甲，那球传出去后，只能是其它三人接球，下一个持球者就不可能是甲 　　所以从上一个甲持球的状态，到现在还是甲持球的状态，转移概率为0 　　如果上一个持球者不是甲，而是乙丙丁三人中的随便一个人，那么球传出去后，有 可能给到甲，即转移概率为 　　综上公式可以描述为 　　推导通项，法一，待定系数法，设方程 跟上述递推式相对比，得出 ，即得 , 为等比数列 　　易得 ,经检验 均符合式子 　　法二，不动点求通项，令 ，有方程 令递推式两边分别减去不动点，经过变形也能构造出等比数列，进而求出通项 　　这里我们观察一下通项 ，存在 ，意思是传的次数越来越多，球在甲手上的概率会趋于一个定值，又因为四个人是等可能地随机传球，所以每个人接到球的可能性会逐渐相等 　　分析第二个问题 　　易得乙的递推也为 ，唯一不同的是 　　通项 与 比较 　　不难看出， 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为 ，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为 ，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为 ，如此往复.(1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率(2)记该同学第n天选择米饭套餐的概率为 (i)证明： 为等比数列；(ii)证明：当n≥2时， . 　　这就纯纯套皮题目，跟上面早餐店吃饭的题目是一样的套路 　　（1）设 　　（2）由题意得 ,如果你有看明白前面的内容，就明白接下来要写出通项，而且分两种情况，还要考虑它们的转移概率 公比是个负数，摆动数列，在不等式比较的时候要分奇偶 　　且为奇数， 　　且为偶数， 　　综上， [5]有 个编号为1，2，...， 的盒子，第一个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球。现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是多少？从第 个盒子中取到白球的概率又是多少？引用自微信公众号：胡畅数学解题笔记 　　PS:此处存在笔误，bn-1应是黑球的概率，不是白球甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换对手投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.(1)求第2次投篮的人是乙的概率;(2)求第i次投篮的人是甲的概率;(3)已知:若随机变量 服从两点分布，且 ，则 记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为 ，求 　　(1)分类，第一次投篮是甲的话，到第二次投篮还是甲的转移概率为0.6；第一次是乙的话，到第二次投篮还是乙的转移概率为0.8，即 　　(2)假设在考场，做完第一题我们就应该意识到每一次投篮人选的概率只跟上一个投篮者有关，是经典的一阶马尔可夫过程，这时候可以不假思索地直接写出概率递推式以及推导出通项 　　由题可得 ，则 　　(3)这道题几乎可以说是整张卷子最难看懂的地方，它重点在考你的理解能力，算根本不复杂，你要是没看懂，那是一步都写不出来 　　分析 　　“随机变量 服从两点分布”和“ ” 　　在题设条件中，如果进行一次事件试验，试验结果只会有两种可能，一种是 事件发生，概率为 　　另一种是 事件不发生，概率为 （在没有特定情境中，随机变量 没有什么特别的意思，其值等于1就表示事件发生，反之就是不发生） 　　在这道题具体情境中，该事件就是投篮，试验结果为甲投篮或不是甲投篮，随机变量 为次数，甲投篮记为1次,概率为 ；不是甲投篮记为0次，概率为 　　然后进行 次投篮，相当进行了 次两点分布试验（即n重伯努利试验），把每次投篮试验的结果 累加起来，得到的总值 就是 次投篮中，甲有投篮的次数，即 　　接下来要求 ，你回看题目就会发现 ，剩下就是直接对概率数列 　　计算它的求和公式，在这里直接给出 　　事实上，题目给出 是降低了一点难度，如果没有给出这个等式，我们应该怎么理解和推导出来？ 　　根据两点分布的数学期望 ，数学期望的性质 ，有 　　总的看下来考的还是基础的知识内容，也许有人看完会觉得很简单，但是如果在高考考场高压力缺时间的情况下，遇到陌生且难懂的题目，有多少人能冷静地分析理解并做出来呢 　　这张卷子虽然说不难，但是题目都是非常的高质量，保持了新高考应有的水准和灵活度，所以各位高考生应注重思维的灵活度和基础的巩固，不要在刷题中逐渐迷失方向，僵化思维为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．（1）求X的分布列;（2）若甲药、乙药在试脸开始时都赋予4分， 表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效“的概率，则 其中 ,假设 .（i）证明： 为等比数列；（ii）求 ，并根据 的值解释这种试验方案的合理性. 　　也许前几题会有同学觉得都是小儿科，那如果把大量的文字阅读+陌生情景+随机游走递推+二阶概率递推式debuff通通叠加上来呢？而且在某些地方跟马尔可夫链也是相似的。2019年的这道题就是一道非常炸裂的存在 　　因为网上以及很多老师解析这题做得很好，这里就不再过多赘述了 　　大家可以尝试自己解解看，基础解析可以看看这篇如何看待2019年全国一卷的数学试题？ 　　关于本题的更多的深入研究思考可以看这里2019年高考数学全国1卷概率统计压轴题溯源 　　既然上一题说到了二阶递推，那么这里也说说该如何解决这类概率递推 　　（第二小题略作改动，难度比原题上升）近几年，随着生活水平的提高，人们对水果的需求量也随之增加，精品水果店大街小巷遍地开花，其中猕猴桃的口感甜酸，可口，风味较好，广受消费者的喜爱.在某水果店，某种猕猴桃整盒出售，每盒20个.已知各盒含0，1个烂果的概率分别为0.8，0.2.(1)顾客甲任取一盒，随机检查其中4个猕猴桃，若当中没有烂果，则买下这盒猕猴桃，否则不会购买此种猕猴桃.求顾客甲购买一盒猕猴桃的概率.(2)顾客乙第1周网购了一盒这种猕猴桃，若当中没有烂果，则下一周继续网购一盒；若当中有烂果，则隔一周再网购一盒；以此类推，求顾客乙第 周网购一盒猕猴桃的概率. 　　（1）两种情况 　　一种情况是在盒子里面没有烂果条件下，查不到烂果的概率为1； 　　一种情况是在盒子里面有一个烂果的情况下，但是你刚好挑不到烂果，这个概率是 　　分析结束，开始规范书写： 　　A=“盒子里没有烂果”， 　　M=“顾客甲购买一盒猕猴桃”， 　　所有可能性考虑后的得到购买概率 （2）设第 周买一盒猕猴桃的概率为 　　因为第一周已经买了一盒猕猴桃，所以 ;第二周若有买猕猴桃，就只能是接着上一周买， 　　显然，是马尔可夫过程，而且还不是一阶马尔可夫，是二阶马尔可夫 　　他在第n周购买一盒猕猴桃的概率，是受上一周和上上周影响的 　　若是从上一周接着买，转移概率就是0.8；若是从上上周接着买的，转移概率是0.2 　　可能有同学看到这样的递推式可能就会懵了，平时没怎么见过，要怎么处理？ 　　有两种处理办法，第一种办法，根据题意将二阶递推式转化为一阶递推式 　　现在我们想把递推式的 去掉，也就是我们不往前推两周，推到上一周就行了，分析如下 　　上一周会有两种可能，买了猕猴桃和没买猕猴桃 　　上一周买了猕猴桃，转移概率就是 ; 　　上一周没买猕猴桃，根据题目所说“若当中有烂果，则隔一周再网购一盒” 　　那么第n周必买猕猴桃，转移概率是1 接下来就是求不动点构造等比数列 (省略了次要步骤和严谨书写格式) 然而，有时候没那么幸运，根本没法转化，我们就只能正面突破二阶递推式 　　第二种办法，特征方程求根构造等比数列（通法） 　　详细的介绍和引入特征方程的概念我就不说了，知乎和b站有很多关于这方面的文章视频，不懂的同学可以去搜搜，几分钟就能get到这个东西，我这里说怎么用 　　1.最高阶的一项单独放在等号一侧且系数必须为1，低阶的几项全放另外一侧，即 　　不这样做，有时候你会求不出来通项 　　2.令最高阶的一项 为 ，次阶 为 ,最低阶直接扔掉只要系数 ，所得二次方程即为特征方程有不相等特征根的递推式，其通项可以表示为 　　两根相等的，可以表示为 　　3.已知 ,待定系数列方程组 　　想了解更多关于二阶递推式的可以看看这篇文章https://zhuanlan.zhihu.com/p/435664495 　　更深入其本质的内容看这篇怎么用特征根法和不动点法求数列的通项公式？ 　　也许有同学早就在网上看过关于马尔可夫链的相关资料，但是大都晦涩难懂，谈及马尔可夫链的一些关于性质例如不可约性、常返性、周期性和遍历性（此处有兴趣和余力的同学可以去自己找找看相关资料），然后再涉及到很多高等数学和概率论的知识，然而对解题并无卵用 　　看得云里雾里不说，再看看题目结果还是不会做。鉴于网上缺乏一些面向中学生的实用资料，于是我写下这篇文章，希望可以给大家一些启发和简单的入门 　　在高中，马尔可夫链和随机游走实际上就是一类特殊的数列递推问题，最大的难点在于理解题意以及寻找递推式，入手点在于找到不同状态之间的关系 　　马尔可夫链是俄国数学家 Andrey Andreyevich Markov 研究并提出的一种数学方法，是用来解释自然变化的一般规律模型，该数学方法可以说是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测、语音识别方面都有着极其广泛的应用 　　马尔可夫链其实在说这样的一种思想：过去所有的信息都已经被保存到了现在的状态，基于现在就可以预测未来 　　这么说也许有些夸张，但是它在人工智能学习中的使用相当广泛，使得一些人工智能可以实现非常多的功能，甚至预测短暂的未来，前些时候的华为盘古天气预测大模型就是一个例子，也许某天人工智能真的能预测未来 　　高中学的贝叶斯公式，全概率公式等等也是如此，它们都来源于概率学理论 　　毕竟，我们的生活充满了不确定性，处处都是概率，想要去描述现实，就得应用许多概率学理论 　　所以，有这样一句话送给各位 　　概率为0的事件未必是不可能事件　　昨天好不容易搞到文心4.0的内测邀请码，我来测试下这个新的人工智能大模型的效果如何。我的AI绘画作品 　　终于可以体验下这个基础模型的全面升级版本，百度世界大会上说大模型对于理解、生成、逻辑和记忆四大能力有了显著提升，我来测试下实际效果吧，看看是不是有发布会说的那么强。 　　我分别用GPT3.5、GPT4、Bing进行对比测试，由于我GPT4今天次数不多了，GPT4我就测试前4题进行对比。 　　人工智能大模型的水平主要包括多模态生成能力、跨语言能力、上下文理解能力、推理和逻辑推断能力、创造能力、抽象思考能力等等，本文我将尝试对推理逻辑判断能力及创造能力进行一个测试，看看各自的效果吧！我的AI绘画作品 　　针对推理和逻辑推断能力，我将提出包含类比和推理的问题，以判断模型是否能够进行清晰的推理和逻辑推断。模型应该能够理解和回答这些问题，并避免答非所问的情况。 　　针对创造能力，我将通过向模型提问创作类的问题，评估模型是否具有创造性。模型应该能够生成新颖且合理的内容，而不是通用模板范式的回答。我的AI绘画作品 　　这里有一道逻辑推理题：一个袋子里有16个球，其中一半是高尔夫球，而高尔夫球中的一半是蓝色的。那么，里面到底有几个蓝色的球呢？让我们先把问题分步骤想一想。请你告诉我，要如何展开思路呢？文心4.0GPT-3.5GPT-4Bing 　　第一道题结论都是一样，步骤上文心更加详细，GPT4更为简洁精练，3.5和BING处于中间，表现都还不错。 　　"如果所有的人都是动物，那么动物是否都是人类？"文心4.0GPT3.5GPT4Bing 　　文心4.0、GPT3.5、GPT4.0都答在点子上，BING完全答非所问，个人觉得文心4.0的逻辑明显更加完整清晰。 　　卡拉正在下载一个 200 GB 的文件，正常情况下，她每分钟可以下载 2 GB，但在下载了40% 的时候，Windows 强制重新启动以安装更新，而这个过程需要 20 分钟，然后卡拉不得不从头重新下载。下载这份文件总共需要多长时间?文心4.0GPT3.5GPT4.0Bing 　　GPT3.5打错了，文心4.0,GPT4.0和BING都回答正确，再次惊叹下文心4.0的逻辑描述，更加清晰完整。 　　每天早晨，小明都会先刷牙后洗脸。今天小明先洗脸后刷牙。这是怎么回事？文心4.0GPT3.5BING 　　这一轮GPT3.5在乱回答，BING说的比较有道理，文心回答的比较严谨，也不错 　　“这句话是假的。”这句话是不是假的？文心4.0GPT3.5BING 　　都没有被绕进去，但是我个人觉得文心回答的最优秀 　　我采用高考作文题和诗歌进行测试，由于文字创造力每个人都有自己的判断，我就只贴图不进行评价。 　　人们因技术发展得以更好地掌控时间，但也有人因此成了时间的仆人。这句话引发了你怎样的联想与思考？请写一篇文章。文心4.0GPT3.5GPT4.0Bing 　　好的故事，可以帮我们更好地表达和沟通，可以触动心灵、启迪智慧；好的故事，可以改变一个人的命运，可以展现一个民族的形象……故事是有力量的。 　　以上材料引发了你怎样的联想和思考？请写一篇文章。要求：选准角度，确定立意，明确文体，自拟标题；不要套作，不得抄袭；不得泄露个人信息；不少于800字。文心4.0GPT3.5BING文心4.0GPT4.0BING文心4.0GPT3.5Bing 　　让我们看看哪个模型的回复最有趣吧！文心4.0GPT3.5BING文心4.0GPT3.5BING文心4.0GPT3.5BING我的AI绘画作品 　　通过上面的测试，可以看到在逻辑推理能力上文心4.0的能力真的很强大，在创造力方面也表现不俗，真是越来越期待国内各大人工智能头部企业的发展了！希望国内这些优秀的企业能够给我们带来更多的惊喜！ 　　我是德里克文，一个对AI绘画，人工智能有强烈兴趣，从业多年的室内设计师！如果对我的文章内容感兴趣，请帮忙关注点赞收藏，谢谢！

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